Módulo 3.2: Generación de Señales Básicas (`[cycle~]`, `[phasor~]`, `[saw~]`, `[noise~]`), Tablas de Onda y Anti-Aliasing

“En matemáticas, una onda de diente de sierra tiene un salto instantáneo vertical con infinitos armónicos; en audio digital, los infinitos armónicos rebotan contra el límite de Nyquist y destruyen tu timbre. Quien no comprende el aliasing, programa generadores de ruido en lugar de sintetizadores.”

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1. Fundamento Acústico: Series de Fourier y el Espectro Armónico

(Inspirado en Miller Puckette, Theory and Technique of Electronic Music, y Cipriani & Giri, Electronic Music and Sound Design, Vol. 1)

Jean-Baptiste Joseph Fourier demostró en 1822 que cualquier señal periódica continua puede descomponerse en una suma de funciones sinusoidales puras cuyas frecuencias son múltiplos enteros ($k \cdot f_0$) de la frecuencia fundamental ($f_0$):

$x(t) = \sum_{k=1}^{\infty} A_k \sin(2\pi k f_0 t + \phi_k)$

El ADN Espectral de las Formas de Onda Clásicas:

┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                       ORGANOLOGÍA ESPECTRAL DE ONDAS                        │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 1. SINUSOIDE PURA ([cycle~])                                                │
│    • Contiene ÚNICAMENTE el primer armónico (la fundamental f0).            │
│    • Espectro: Una sola línea vertical en f0. Cero distorsión armónica.     │
│                                                                             │
│ 2. DIENTE DE SIERRA / SAWTOOTH ([saw~])                                     │
│    • Contiene TODOS los armónicos (pares e impares: 1, 2, 3, 4, 5...).      │
│    • Amplitud del k-ésimo armónico: A_k = 1 / k                             │
│    • Timbre brillante, cortante y rico (ideal para bajos y leads).          │
│                                                                             │
│ 3. ONDA CUADRADA / SQUARE ([rect~])                                         │
│    • Contiene ÚNICAMENTE armónicos IMPARES (1, 3, 5, 7, 9...).              │
│    • Amplitud del k-ésimo armónico: A_k = 1 / k                             │
│    • Timbre hueco, nasal y metálico (similar al clarinete).                 │
│                                                                             │
│ 4. RUIDO BLANCO ([noise~])                                                  │
│    • Densidad espectral plana: todas las frecuencias con energía aleatoria. │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

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2. El Peligro del Aliasing y Osciladores con Banda Limitada (Band-Limited)

En el mundo matemático analógico, las ondas cuadradas y de sierra tienen esquinas infinitamente afiladas. En el dominio digital, una discontinuidad vertical infinita genera armónicos que sobrepasan con creces la frecuencia de Nyquist ($f_N = f_s / 2 = 24.000\text{ Hz}$).

¿Qué pasa cuando un armónico supera a Nyquist?

Si tocas una nota aguda de sierra a $5.000\text{ Hz}$:

• 1º armónico: $5.000\text{ Hz}$ (OK)
• 2º armónico: $10.000\text{ Hz}$ (OK)
• 3º armónico: $15.000\text{ Hz}$ (OK)
• 4º armónico: $20.000\text{ Hz}$ (OK)
• 5º armónico: $25.000\text{ Hz}$ ¡SUPERA NYQUIST!

En lugar de desaparecer, esa energía rebota como un espejo: $f_{\text{aliased}} = |48.000 - 25.000| = 23.000\text{ Hz}$ Y el 6º armónico ($30.000\text{ Hz}$) rebotará en $18.000\text{ Hz}$. El resultado son decenas de frecuencias espurias inarmónicas que suenan como chirridos metálicos sucios y desagradables.

                  Límite de Nyquist (24 kHz)
                              │
     f0    2f0   3f0   4f0    │   5f0 (25 kHz)
     │      │     │     │     │    │
    ─┴──────┴─────┴─────┴─────┼────┴────────► Frecuencia
                              │   /
                  ◄───────────┼──┘  (Rebota a 23 kHz como Aliasing)

La Diferencia Crucial entre [phasor~] y [saw~]:

• [phasor~] NO TIENE BANDA LIMITADA (Naive Sawtooth): Es una rampa matemática lineal de $0.0$ a $1.0$ que se reinicia abruptamente a $0.0$. Es el mejor reloj de fase del mundo para modular buffers o síntesis granular, pero si lo escuchas directamente como oscilador sonoro en notas medias/altas, destruirá tus agudos con aliasing masivo.
• [saw~] y [rect~] SÍ TIENEN BANDA LIMITADA: Utilizan algoritmos de atenuación armónica (como tablas de ondas de múltiples resoluciones o algoritmos PolyBLEP) para eliminar los armónicos que exceden Nyquist antes de que reboten.

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3. Under the Hood (Max C SDK): Tablas de Onda y Acumuladores de Fase

(Basado en simpwave~.c del Max SDK)

¿Cómo genera [cycle~] una sinusoide continua con costo computacional mínimo?

En lugar de llamar a la costosa función trascendente matemática sin() de la librería de C 48.000 veces por segundo, Max utiliza una Wavetable (Tabla de Onda) precalculada de 512 o 4096 puntos en memoria RAM estática.

// Lógica interna de simpwave~ en el Max SDK
typedef struct _simpwave {
    t_pxobject ob;
    double     phase;        // Acumulador de fase normalizado (0.0 a 1.0)
    double     phase_step;   // Salto de fase por muestra: (frecuencia / samplerate)
    double     table[512];   // Muestras precalculadas de un ciclo de onda
} t_simpwave;

void simpwave_perform64(t_simpwave *x, t_object *dsp64,
                        double **ins, long numins,
                        double **outs, long numouts,
                        long sampleframes, long flags, void *userparam)
{
    t_double *out = outs[0];
    int n = sampleframes;
    double ph = x->phase;
    double step = x->phase_step;

    while (n--) {
        // 1. Interpolar valor en la tabla
        int index = (int)(ph * 512.0);
        *out++ = x->table[index]; // Lectura directa en O(1) de memoria RAM

        // 2. Avanzar el acumulador de fase
        ph += step;
        if (ph >= 1.0) ph -= 1.0; // Envolver de 1.0 a 0.0 (Wrap)
    }
    x->phase = ph; // Guardar fase para el siguiente bloque
}

El Acumulador de Fase: El Motor Universal de Síntesis

El salto de fase por muestra está gobernado por una fórmula fundamental: $\text{phase\_step} = \frac{f_0}{f_s}$ Si $f_0 = 440\text{ Hz}$ y $f_s = 48.000\text{ Hz}$, en cada muestra la fase avanza: $\text{phase\_step} = \frac{440}{48000} \approx 0.009166$

Teoría Formal de Interpolación en Tablas de Onda (Curtis Roads, CMT 2023)

En la segunda edición de The Computer Music Tutorial (The MIT Press, 2023), Curtis Roads formaliza por qué el truncamiento entero directo ((int)index) es inaceptable en síntesis profesional de estudio: produce ruido de cuantización de fase y distorsión armónica espuria.

Para leer una posición fraccionaria $i + \alpha$ (donde $i$ es la parte entera y $\alpha \in [0, 1)$ la fracción de muestra):

1. Truncamiento (Zero-Order Hold / Vecino más cercano): $y[n] = x[i]$ Genera saltos escalonados que degradan la relación señal-a-ruido (SNR) a menos de 40 dB.
2. Interpolación Lineal (First-Order): $y[n] = x[i] + \alpha \cdot (x[i+1] - x[i])$ Es el método estándar en objetos como [cycle~] (con tabla de 512 puntos). Atenúa significativamente los componentes espurios, elevando el piso de ruido a ~70 dB.
3. Interpolación Cúbica y Hermite (Splines de Tercer Orden): Utilizada en [gen~] y samplers de alta gama, pondera 4 muestras consecutivas ($x[i-1], x[i], x[i+1], x[i+2]$) para asegurar la continuidad de la primera derivada (tangente suave). Elimina virtualmente todo aliasing audible, garantizando un piso dinámico superior a 96 dB (grado CD de 16-bit) incluso con transposiciones extremas.

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Gotchas Críticos de los Foros Oficiales de Cycling ‘74

1. [cycle~] arranca en Fase de Coseno (1.0, no 0.0):
   • Históricamente en Max, [cycle~] es un coseno: su fase $0.0$ equivale a amplitud $+1.0$. Si disparas audio desde silencio absoluto reseteando la fase a 0, producirás un click instantáneo. Para arrancarlo en cero de fase seno, debes desfasarlo un cuarto de ciclo ($0.75$).
2. Uso Erróneo de [phasor~] como Audio Audible:
   • La comunidad insiste: [phasor~] es un generador de tiempo/fase, no un oscilador para los parlantes. Úsalo para indexar tablas ([2d.wave~], [wave~]), disparar ventanas granulares o modular filtros, pero usa [saw~] para escuchar timbres de sierra limpios.
3. Hard-Sync y Clicks en Cosenos:
   • Reiniciar la fase de [cycle~] abruptamente con un pulso de sincronía provoca una discontinuidad vertical que genera ruido armónico. Para hard-sync limpio se requieren ventanas de suavizado o técnicas PolyBLEP en [gen~].

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4. 4 Escenarios del Mundo Real

Abre el parche interactivo complementario: book/patches/modulo-03/laboratorio_08_osciladores.maxpat

Escenario 1: El Test Auditivo de Aliasing ([phasor~] vs [saw~])

• El Problema: Quieres demostrar experimentalmente por qué el aliasing destruye la música.
• La Solución: Conectar un barrido de frecuencias de $100\text{ Hz}$ a $12.000\text{ Hz}$ a un [phasor~] y a un [saw~]. Con [phasor~], al subir la frecuencia se escucha claramente cómo armónicos fantasma descienden en sentido contrario (aliasing). Con [saw~], el sonido permanece puro y brillante.

Escenario 2: Generación de Pulso Variable (PWM) con [phasor~] y comparador

• El Problema: Quieres el sonido clásico de sintetizador de los 80 (Pulse Width Modulation) modulando el ancho de pulso de una onda cuadrada.
• La Solución: Conectar [phasor~] a un operador de umbral [>~ 0.5]. Modulando el valor de comparación de $0.01$ a $0.99$ con un LFO lento, el ancho de pulso muta continuamente de agudo y nasal a grueso.

Escenario 3: Síntesis de Percusión (Snare Drum) con [noise~] y Envolvente

• El Problema: Crear el sonido de redoblante de una caja de ritmos analógica tipo TR-808 sin usar samples en disco.
• La Solución: Ráfagas de ruido blanco [noise~] multiplicadas por una envolvente exponencial rápida [line~] de 150 ms, mezcladas con un golpe de seno grave descendente ([cycle~]).

Escenario 4: Tabla de Onda Personalizada con [cycle~ mi_buffer]

• El Problema: La sinusoide estándar de [cycle~] es demasiado simple y no tiene armónicos.
• La Solución: Cargar un ciclo de forma de onda rica en un [buffer~ mi_onda] y llamar a [cycle~ mi_onda]. El objeto adopta inmediatamente el nuevo timbre sin consumo adicional de CPU.

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5. 3 Desafíos de Ingeniería de Laboratorio

Realiza estos ejercicios utilizando el parche interactivo laboratorio_08_osciladores.maxpat:

Ejercicio 1: El Generador PWM Libre de Discontinuidades

• Objetivo: Construye un oscilador de pulso con modulación de ancho (PWM).
• Desafío: Usa dos ondas [saw~] en desfase relativo restadas entre sí ([-~]), o modula el atributo de ciclo de [rect~]. Compara el resultado espectral contra el PWM naive hecho con [>~].

Ejercicio 2: El Sintetizador de Viento / Mar con Ruido Filtrado

• Objetivo: Simula el sonido del oleaje del mar.
• Desafío: Toma [noise~] y pásalo a través de un filtro resonante [reson~] o [lores~]. Modula la frecuencia de corte muy lentamente (0.1 Hz) usando un [cycle~ 0.1] escalado entre $200\text{ Hz}$ y $1500\text{ Hz}$.

Ejercicio 3: Fase Cero Senoidal vs Cosenoidal

• Objetivo: Demuestra la fase inicial de [cycle~].
• Desafío: Conecta [cycle~] a un [scope~]. Envía un mensaje 0. al inlet derecho de fase y observa dónde arranca la onda. Luego envía 0.75 y observa cómo se convierte en una onda senoidal pura que nace en cero sin producir click de inicio.

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Resumen de Principios Arquitectónicos

1. Fourier Gobierna la Síntesis: Toda forma de onda compleja es una suma de sinusoides. El timbre depende de qué armónicos existen y con qué amplitud relativa ($1/k$ en sierra y cuadrada).
2. Aliasing es Inevitable si no hay Banda Limitada: Las esquinas matemáticas perfectas no existen en digital; usa [saw~] y [rect~] para audio y reserva [phasor~] para modulación y fase.
3. Wavetables en RAM para Alta Velocidad: Los osciladores en C recorren buffers indexados por un acumulador de fase step = f0 / fs.
4. Cuidado con la Fase Inicial: [cycle~] es un coseno (amplitud 1.0 en $t=0$); compensa con fase $0.75$ para arranques suaves desde cero.