Módulo 3.3: Aritmética de Audio, Modulación en Anillo (Ring Modulation) y Modulación de Amplitud (AM)

“Multiplicar dos señales de audio no es un simple control de volumen; es una colisión trigonométrica que crea nuevas frecuencias que jamás existieron en los osciladores originales.”
— Jean-Michel Réveillac, Musical Sound Effects: Analog and Digital Sound Processing

1. Fundamento Matemático: Trigonometría de la Multiplicación de Señales

(Inspirado en Miller Puckette, Theory and Technique of Electronic Music, y Cipriani & Giri, Electronic Music and Sound Design, Vol. 1)

En el dominio analógico y digital, existen dos operaciones fundamentales entre señales:

Suma ([+~]): Superposición lineal. Mezcla dos sonidos sin alterar su contenido espectral individual.
Multiplicación ([*~]): Interacción no lineal que engendra Bandas Laterales (Sidebands).

Identidad Trigonométrica del Producto de Cosenos:

Cuando multiplicas dos ondas continuas con frecuencias $f_c$ (Portadora / Carrier) y $f_m$ (Moduladora / Modulator):

$\cos(2\pi f_c t) \cdot \cos(2\pi f_m t) = \frac{1}{2}\cos\big(2\pi (f_c + f_m) t\big) + \frac{1}{2}\cos\big(2\pi (f_c - f_m) t\big)$

FIG 3.2 · Modulación en Anillo (Bipolar) vs. Modulación de Amplitud (Unipolar)

3. Bajo el Capó (Max C SDK): Vectorización SIMD con SSE (`times~.c`)

(Basado en times~.c del Cycling ‘74 Max SDK)

¿Cómo multiplica Max millones de muestras por segundo entre dos canales estéreo sin derretir el procesador?

Max implementa optimizaciones SIMD (Single Instruction, Multiple Data) a nivel de ensamblador y C intrinsics en Windows y macOS:

// times~.c del Max SDK (Optimización SIMD para procesadores x86_64)
#if defined(WIN_VERSION) && defined(WIN_SSE_INTRINSICS)
    __m128d mm_in1, mm_in2, mm_val;
    mm_val = _mm_set1_pd(aligned_val); // Carga el escalar en los registros SSE

    for (i = 0; i < sampleframes; i += 4) {
        mm_in1 = _mm_load_pd(in + i);
        mm_out1[i / 2] = _mm_mul_pd(mm_in1, mm_val); // Multiplica 2 dobles en 1 ciclo
        mm_in2 = _mm_load_pd(in + i + 2);
        mm_out2[i / 2 + 1] = _mm_mul_pd(mm_in2, mm_val); // Multiplica otros 2
    }
#endif

Lección de Rendimiento:

Una multiplicación escalar ingenua muestra por muestra tardaría 64 ciclos de reloj para un vector de 64 muestras.
Las instrucciones vectoriales _mm_mul_pd calculan pares de muestras de 64 bits en paralelo, reduciendo el consumo de CPU a una fracción imperceptible.

Comportamientos Críticos en Modulación y Aritmética de Audio

Bandas Laterales Negativas y Aliasing Espectral (Foldover):
- Cuando $f_m > f_c$ , la banda lateral inferior arroja un valor algebraico negativo: por ejemplo, $440\text{ Hz} - 600\text{ Hz} = -160\text{ Hz}$ .
- En el dominio de señales reales, una componente de frecuencia negativa no desaparece: se refleja en el espectro positivo con inversión de fase de $180^\circ$ como $+160\text{ Hz}$ . Si no se calculan analíticamente las relaciones armónicas, estos componentes reflejados introducen frecuencias espurias en el registro grave.
Multiplicación Escalar vs. Multiplicación Señal a Señal:
- Al multiplicar una señal de audio por un valor de control en el inlet derecho de [*~ 0.], Max conmuta internamente a la rutina scale_perform64_method (aplicando un único escalar invariable a todo el vector). No obstante, si dicho valor cambia abruptamente desde la interfaz gráfica, cada bloque de 64 muestras sufrirá una discontinuidad escalonada que introduce ruido de cremallera (zipper noise). Para transiciones continuas sin artefactos audibles, la modulación debe modularse siempre a tasa de audio mediante rampas suavizadas con [line~].

4. Modulación de Banda Lateral Única (SSB) y Desplazamiento de Frecuencia (Frequency Shifter)

(Inspirado en Miller Puckette, Theory and Technique of Electronic Music, y Cipriani & Giri, Electronic Music and Sound Design, Vol. 2)

Uno de los errores más extendidos en la producción musical y el diseño de audio consiste en confundir Pitch Shifting (transposición de tono) con Frequency Shifting (desplazamiento de frecuencia de Bode):

Parámetro	Transposición de Tono (Pitch Shifting)	Desplazamiento de Frecuencia (Frequency Shifting)
Operación Matemática	Multiplicación escalar: $f_n' = k \cdot f_n$	Suma aditiva constante: $f_n' = f_n + \Delta f$
Relación Armónica	Se preserva: $100, 200, 300 \rightarrow 200, 400, 600\text{ Hz}$	Se destruye: $100, 200, 300 \rightarrow 150, 250, 350\text{ Hz}$
Percepción Acústica	Mismo instrumento en distinta nota musical	Sonido inarmónico alienígena, campanas, timbres metálicos

4.1. La Señal Analítica en Cuadratura y el Objeto `[hilbert~]`

En la Modulación en Anillo clásica (*~), multiplicar una señal $x(t)$ por una portadora de frecuencia $f_c$ genera inevitablemente dos bandas laterales: la suma ( $f_s + f_c$ ) y la diferencia ( $f_s - f_c$ ).

Para aislar una sola banda lateral (Single Sideband / SSB) y lograr un auténtico Frequency Shifter, debemos transformar la señal de audio real en una señal analítica compleja: $z(t) = x(t) + j \cdot \mathcal{H}\{x(t)\}$ Donde $\mathcal{H}\{x(t)\}$ es la Transformada de Hilbert, que desfasa exactamente $90^\circ$ todas las frecuencias componentes sin alterar sus amplitudes.

FIG 3.2B · Single-Sideband (SSB) Frequency Shifter

4.2. Cancelación Trigonométrica de Bandas en Max

El objeto [hilbert~] descompone la entrada en dos señales: salida izquierda (en fase) y salida derecha ( $90^\circ$ en cuadratura).
Modulamos ambas señales con dos osciladores en cuadratura de frecuencia $\Delta f$ (un [cycle~] en fase cero evaluando coseno y otro con fase $0.25$ evaluando seno).
Restando los productos ([-~]), la banda inferior se cancela matemáticamente por interferencia destructiva, dejando únicamente la banda lateral superior ( $f + \Delta f$ ).
Sumando los productos ([+~]), se cancela la banda superior, aislando el espectro desplazado hacia abajo.

4. 4 Escenarios del Mundo Real

Abre el parche interactivo complementario: book/patches/modulo-03/laboratorio_09_modulacion_am_rm.maxpat

Escenario 1: La Voz de Dalek (Efecto Sci-Fi Clásico)

El Problema: Lograr la clásica voz robótica y deshumanizada de la serie Doctor Who.
La Solución: Ring Modulation puro entre la voz de un micrófono (o un oscilador rico en armónicos) y una onda sinusoidal pura [cycle~] a $30\text{ Hz} - 50\text{ Hz}$ . Las bandas laterales rompen la formante vocal humana produciendo el característico timbre metálico.

Escenario 2: De Trémolo Acústico a Tímbrica Metálica Continua

El Problema: Explicar sensorialmente cómo la percepción humana cambia al acelerar un LFO.
La Solución: A $4\text{ Hz}$ , la modulación de amplitud se percibe como una fluctuación periódica de volumen (Trémolo). Al subir la frecuencia a $150\text{ Hz}$ , el oído humano deja de distinguir los pulsos individuales y fusiona las bandas laterales en un nuevo timbre acampanado.

Escenario 3: Síntesis de Campanas Inarmónicas (Chimes)

El Problema: Crear campanas de iglesia o gongs orientales que no suenen a notas afinadas tradicionales.
La Solución: Multiplicar una portadora a $500\text{ Hz}$ por una moduladora a $357\text{ Hz}$ (relación irracional). Las frecuencias resultantes ( $143\text{ Hz}$ y $857\text{ Hz}$ ) no guardan relación de octava ni quinta, generando una inarmonicidad metálica perfecta.

Escenario 4: Escalamiento y Normalización Bipolar a Unipolar

El Problema: La salida de [cycle~] oscila entre $-1.0$ y $+1.0$ . Si la usamos directamente para modular el volumen, la fase se invertirá en el semiciclo negativo produciendo RM en lugar de AM.
La Solución: Usar la fórmula matemática de acondicionamiento: $\text{Unipolar} = (\text{Bipolar} \cdot 0.5) + 0.5$ Con [*~ 0.5] y [+~ 0.5], la señal oscila estrictamente entre $0.0$ y $+1.0$ , logrando AM limpio.

5. 3 Desafíos de Ingeniería de Laboratorio

Realiza estos ejercicios utilizando el parche interactivo laboratorio_09_modulacion_am_rm.maxpat:

Ejercicio 1: El Conmutador Morfológico RM / AM

Objetivo: Diseña un control continuo que permita pasar de Ring Modulation puro (bipolar) a Amplitude Modulation (unipolar) mediante un solo slider.
Pista: Usa un multiplicador para atenuar o inyectar el offset de corriente continua con [+~].

Ejercicio 2: El Generador de Campana con Decaimiento Tímbrico

Objetivo: Modula la profundidad de las bandas laterales en el tiempo.
Desafío: Haz que el índice de modulación comience muy alto al presionar una tecla (produciendo un impacto metálico muy brillante) y decaiga rápidamente a cero con una envolvente [line~], dejando únicamente la frecuencia portadora pura en el sustain.

Ejercicio 3: Detección y Escucha de Frecuencias Negativas (Foldover)

Objetivo: Comprueba auditivamente el rebote de frecuencias negativas.
Desafío: Fija la portadora en $300\text{ Hz}$ y sube la moduladora lentamente de $200\text{ Hz}$ a $500\text{ Hz}$ . Escucha con atención cómo la banda inferior desciende hasta $0\text{ Hz}$ y luego, al pasar los $300\text{ Hz}$ , vuelve a subir como frecuencia positiva rebotada.

Resumen de Principios Arquitectónicos

Suma = Superposición, Multiplicación = Creación: Multiplicar dos señales en MSP genera dos nuevas frecuencias: la suma ( $f_c + f_m$ ) y la resta ( $f_c - f_m$ ).
El Offset DC define el Régimen: Bipolar (sin offset) produce Ring Modulation (la fundamental desaparece); Unipolar (con offset $>0$ ) produce Amplitude Modulation (la fundamental se conserva).
Optimización SIMD Automática: Max compila los bloques de [*~] utilizando instrucciones vectoriales SSE/AVX en bloques de $n$ muestras.
Cuidado con el Zipper Noise: Nunca modules una multiplicación con números de control abruptos; interpola siempre con [line~] para evitar clicks entre vectores.