Módulo 3.3: Aritmética de Audio, Modulación en Anillo (Ring Modulation) y Modulación de Amplitud (AM)

“Multiplicar dos señales de audio no es un simple control de volumen; es una colisión trigonométrica que crea nuevas frecuencias que jamás existieron en los osciladores originales.”

1. Fundamento Matemático: Trigonometría de la Multiplicación de Señales

(Inspirado en Miller Puckette, Theory and Technique of Electronic Music, y Cipriani & Giri, Electronic Music and Sound Design, Vol. 1)

En el dominio analógico y digital, existen dos operaciones fundamentales entre señales:

Suma ([+~]): Superposición lineal. Mezcla dos sonidos sin alterar su contenido espectral individual.
Multiplicación ([*~]): Interacción no lineal que engendra Bandas Laterales (Sidebands).

Identidad Trigonométrica del Producto de Cosenos:

Cuando multiplicas dos ondas continuas con frecuencias $f_c$ (Portadora / Carrier) y $f_m$ (Moduladora / Modulator):

$\cos(2\pi f_c t) \cdot \cos(2\pi f_m t) = \frac{1}{2}\cos\big(2\pi (f_c + f_m) t\big) + \frac{1}{2}\cos\big(2\pi (f_c - f_m) t\big)$

┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                 ESPECTRO RESULTANTE: MODULACIÓN EN ANILLO                   │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ Señal Portadora (Carrier):    f_c = 440 Hz                                  │
│ Señal Moduladora (Modulator): f_m = 100 Hz                                  │
│                                                                             │
│ Espectro de Salida:                                                         │
│   • Banda Lateral Inferior: f_c - f_m = 440 - 100 = 340 Hz                  │
│   • Banda Lateral Superior: f_c + f_m = 440 + 100 = 540 Hz                  │
│   • ¡LA FUNDAMENTAL ORIGINAL (440 Hz) DESAPARECE POR COMPLETO!              │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

2. Modulación en Anillo (RM) vs. Modulación de Amplitud (AM)

La diferencia entre RM y AM radica en un único componente: el Offset de Corriente Continua (DC Offset) de la señal moduladora.

┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                       RING MODULATION VS. AMPLITUDE MOD                     │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 1. RING MODULATION (RM / Bipolar):                                          │
│    • Moduladora bipolar: oscila entre -1.0 y +1.0 (media = 0.0).            │
│    • Salida: ÚNICAMENTE bandas laterales (f_c - f_m) y (f_c + f_m).         │
│    • Sonido: Metálico, acampanado, robótico y radicalmente inarmónico.      │
│                                                                             │
│ 2. AMPLITUDE MODULATION (AM / Unipolar):                                    │
│    • Moduladora unipolar: oscila entre 0.0 y 1.0 (con offset DC).           │
│    • Fórmula: Carrier * (1.0 + Modulator)                                   │
│    • Salida: La portadora f_c PERMANECE + las dos bandas laterales.         │
│    • Sonido: Trémolo (en bajas frecuencias) o refuerzo armónico cálido.     │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

   Espectro Ring Mod (RM):           Espectro Amplitude Mod (AM):
        │                                 │          f_c
        │                                 │           │
     f_c-f_m        f_c+f_m            f_c-f_m        │        f_c+f_m
        │              │                  │           │           │
    ────┴──────────────┴─────►        ────┴───────────┴───────────┴─────►

3. Bajo el Capó (Max C SDK): Vectorización SIMD con SSE (`times~.c`)

(Basado en times~.c del Cycling ‘74 Max SDK)

¿Cómo multiplica Max millones de muestras por segundo entre dos canales estéreo sin derretir el procesador?

Max implementa optimizaciones SIMD (Single Instruction, Multiple Data) a nivel de ensamblador y C intrinsics en Windows y macOS:

// times~.c del Max SDK (Optimización SIMD para procesadores x86_64)
#if defined(WIN_VERSION) && defined(WIN_SSE_INTRINSICS)
    __m128d mm_in1, mm_in2, mm_val;
    mm_val = _mm_set1_pd(aligned_val); // Carga el escalar en los registros SSE

    for (i = 0; i < sampleframes; i += 4) {
        mm_in1 = _mm_load_pd(in + i);
        mm_out1[i / 2] = _mm_mul_pd(mm_in1, mm_val); // Multiplica 2 dobles en 1 ciclo
        mm_in2 = _mm_load_pd(in + i + 2);
        mm_out2[i / 2 + 1] = _mm_mul_pd(mm_in2, mm_val); // Multiplica otros 2
    }
#endif

Lección de Rendimiento:

Una multiplicación escalar ingenua muestra por muestra tardaría 64 ciclos de reloj para un vector de 64 muestras.
Las instrucciones vectoriales _mm_mul_pd calculan pares de muestras de 64 bits en paralelo, reduciendo el consumo de CPU a una fracción imperceptible.

Gotchas Críticos de los Foros Oficiales de Cycling ‘74

Bandas Laterales Negativas y Aliasing (Foldover):
- Si $f_m > f_c$ , la banda inferior resulta negativa: $440\text{ Hz} - 600\text{ Hz} = -160\text{ Hz}$ .
- En audio analógico y digital, una frecuencia negativa no se cancela: se refleja con fase invertida como $+160\text{ Hz}$ . Si no vigilas las frecuencias, crearás armónicos impredecibles en el registro grave.
Multiplicación Control vs Multiplicación Señal:
- Si multiplicas una señal cycle~ por un número de control usando el inlet derecho de [*~ 0.], Max conmuta internamente a la rutina scale_perform64_method (un solo escalar para todo el vector). Pero si cambias ese número bruscamente desde un slider, cada bloque de 64 muestras tendrá un salto escalonado que producirá ruido de cremallera (zipper clicks). Para automatización limpia, conecta siempre una señal generada con [line~].

4. 4 Escenarios del Mundo Real

Abre el parche interactivo complementario: book/patches/modulo-03/laboratorio_09_modulacion_am_rm.maxpat

Escenario 1: La Voz de Dalek (Efecto Sci-Fi Clásico)

El Problema: Lograr la clásica voz robótica y deshumanizada de la serie Doctor Who.
La Solución: Ring Modulation puro entre la voz de un micrófono (o un oscilador rico en armónicos) y una onda sinusoidal pura [cycle~] a $30\text{ Hz} - 50\text{ Hz}$ . Las bandas laterales rompen la formante vocal humana produciendo el característico timbre metálico.

Escenario 2: De Trémolo Acústico a Tímbrica Metálica Continua

El Problema: Explicar sensorialmente cómo la percepción humana cambia al acelerar un LFO.
La Solución: A $4\text{ Hz}$ , la modulación de amplitud se percibe como una fluctuación periódica de volumen (Trémolo). Al subir la frecuencia a $150\text{ Hz}$ , el oído humano deja de distinguir los pulsos individuales y fusiona las bandas laterales en un nuevo timbre acampanado.

Escenario 3: Síntesis de Campanas Inarmónicas (Chimes)

El Problema: Crear campanas de iglesia o gongs orientales que no suenen a notas afinadas tradicionales.
La Solución: Multiplicar una portadora a $500\text{ Hz}$ por una moduladora a $357\text{ Hz}$ (relación irracional). Las frecuencias resultantes ( $143\text{ Hz}$ y $857\text{ Hz}$ ) no guardan relación de octava ni quinta, generando una inarmonicidad metálica perfecta.

Escenario 4: Escalamiento y Normalización Bipolar a Unipolar

El Problema: La salida de [cycle~] oscila entre $-1.0$ y $+1.0$ . Si la usamos directamente para modular el volumen, la fase se invertirá en el semiciclo negativo produciendo RM en lugar de AM.
La Solución: Usar la fórmula matemática de acondicionamiento: $\text{Unipolar} = (\text{Bipolar} \cdot 0.5) + 0.5$ Con [*~ 0.5] y [+~ 0.5], la señal oscila estrictamente entre $0.0$ y $+1.0$ , logrando AM limpio.

5. 3 Desafíos de Ingeniería de Laboratorio

Realiza estos ejercicios utilizando el parche interactivo laboratorio_09_modulacion_am_rm.maxpat:

Ejercicio 1: El Conmutador Morfológico RM / AM

Objetivo: Diseña un control continuo que permita pasar de Ring Modulation puro (bipolar) a Amplitude Modulation (unipolar) mediante un solo slider.
Pista: Usa un multiplicador para atenuar o inyectar el offset de corriente continua con [+~].

Ejercicio 2: El Generador de Campana con Decaimiento Tímbrico

Objetivo: Modula la profundidad de las bandas laterales en el tiempo.
Desafío: Haz que el índice de modulación comience muy alto al presionar una tecla (produciendo un impacto metálico muy brillante) y decaiga rápidamente a cero con una envolvente [line~], dejando únicamente la frecuencia portadora pura en el sustain.

Ejercicio 3: Detección y Escucha de Frecuencias Negativas (Foldover)

Objetivo: Comprueba auditivamente el rebote de frecuencias negativas.
Desafío: Fija la portadora en $300\text{ Hz}$ y sube la moduladora lentamente de $200\text{ Hz}$ a $500\text{ Hz}$ . Escucha con atención cómo la banda inferior desciende hasta $0\text{ Hz}$ y luego, al pasar los $300\text{ Hz}$ , vuelve a subir como frecuencia positiva rebotada.

Resumen de Principios Arquitectónicos

Suma = Superposición, Multiplicación = Creación: Multiplicar dos señales en MSP genera dos nuevas frecuencias: la suma ( $f_c + f_m$ ) y la resta ( $f_c - f_m$ ).
El Offset DC define el Régimen: Bipolar (sin offset) produce Ring Modulation (la fundamental desaparece); Unipolar (con offset $>0$ ) produce Amplitude Modulation (la fundamental se conserva).
Optimización SIMD Automática: Max compila los bloques de [*~] utilizando instrucciones vectoriales SSE/AVX en bloques de $n$ muestras.
Cuidado con el Zipper Noise: Nunca modules una multiplicación con números de control abruptos; interpola siempre con [line~] para evitar clicks entre vectores.