Lección 3.6: Filtrado Digital: Polos, Ceros, biquad~, lores~ y State Variable Filters (svf~)

“Un filtro digital no elimina frecuencias de forma mágica: retrasa la señal de entrada, la multiplica por coeficientes algebraicos cuidadosamente calibrados y la realimenta sobre sí misma. La diferencia de fase resultante cancela destructivamente ciertas frecuencias y refuerza constructivamente otras.”
— Richard Boulanger, The Audio Programming Book

Objetivos Pedagógicos y de Ingeniería

Comprender la Transformada Z y la Ecuación en Diferencias de Segundo Orden (Biquad): Deducir cómo una combinación de 2 muestras de retardo de entrada ( $z^{-1}, z^{-2}$ ) y 2 de salida produce un filtro bicuadrático universal.
Dominar la física del Plano Complejo Z: Analizar el círculo unitario, los ceros (que introducen muescas de atenuación) y los polos (que generan resonancia y picos selectivos).
Mapear la estabilidad de los filtros: Demostrar matemáticamente por qué un polo con magnitud $|p| \ge 1$ causa inestabilidad asintótica y explosión numérica a $\pm \infty$ (NaN).
Implementar los 3 paradigmas de filtrado en Max/MSP:
- [biquad~] + [filtergraph~]: Precisión quirúrgica paramétrica.
- [lores~]: Filtro resonante paso-bajo optimizado de 2 polos con auto-oscilación analógica.
- [svf~] (State Variable Filter): Topología de Chamberlin con salidas simultáneas Lowpass, Highpass, Bandpass y Notch.

1. Fundamentos Matemáticos: La Ecuación en Diferencias Canónica

El filtro bicuadrático (IIR de 2º orden) responde a la siguiente ecuación en diferencias direct-form II:

$y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] - a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2]$

Aplicando la transformada $\mathcal{Z}$ , la función de transferencia en el plano $z$ es:

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}$

El Plano Z y el Círculo Unitario

Las raíces del numerador son los ceros del filtro ( $H(z) = 0$ ).
Las raíces del denominador son los polos del filtro ( $H(z) \to \infty$ ).
Criterio Estricto de Estabilidad BIBO (Bounded-Input Bounded-Output): Todos los polos deben residir estrictamente en el interior del círculo unitario: $|p_k| < 1 \quad \forall k$ Si un polo toca el círculo ( $|p| = 1$ ), el sistema se convierte en un oscilador senoidal puro no amortiguado (auto-oscilación). Si cruza hacia afuera ( $|p| > 1$ ), los valores de amplitud crecen exponencialmente hasta saturar los registros flotantes de 64 bits en +inf o NaN, silenciando el motor de audio de Max.

       Im(z)
         |     x (Polo fuera: ¡EXPLOSIÓN!)
      1.0|   .---.
         |  /  x  \  (Polo dentro: Estable y resonante)
   ------+-(---+---)+------ Re(z)
         |  \     /
     -1.0|   '---' (Círculo Unitario |z|=1)
         |

2. Los Tres Sabores de Filtros en Max/MSP

A. `biquad~` y su Interfaz `filtergraph~`

[biquad~] es un ejecutor bruto de la ecuación de diferencias. Recibe 5 coeficientes directos b0 b1 b2 a1 a2.

En lugar de calcular a mano los coeficientes de Robert Bristow-Johnson (Cookbook Formulae), utilizamos la interfaz visual [filtergraph~].
Modos estándar: lowpass, highpass, bandpass, bandstop (notch), peaknotch, lowshelf, highshelf.

B. `lores~` (Lowpass Resonante Estilo Sintetizador Analógico)

Sintaxis: lores~ [frecuencia_corte] [resonancia_0_a_1]
Emula la caída de 12 dB/octava de un filtro analógico ladder básico.
Cuando la resonancia se acerca a 0.999, el filtro entra en auto-oscilación, actuando como un oscilador senoidal puro que puede ser afinado cromáticamente por su frecuencia de corte.

C. `svf~` (State Variable Filter de Chamberlin)

Estructura topológica basada en integradores acoplados.
Outlet 1: Lowpass (paso-bajo)
Outlet 2: Highpass (paso-alto)
Outlet 3: Bandpass (paso-banda)
Outlet 4: Notch (rechazo de banda)
Propiedad única: Permite barrer el espectro de un sintetizador mientras se conserva la energía simultánea en múltiples bandas sin recalcular matrices de coeficientes completas.

Topologías de Conexión: Serie vs. Paralelo (Cipriani & Giri / Réveillac)

En Musical Sound Effects, Jean-Michel Réveillac analiza en detalle las implicancias de fase y ganancia según cómo conectemos múltiples etapas de filtrado:

Conexión en Cascada (Serie): $H_{total}(z) = H_1(z) \cdot H_2(z) \cdot \dots \cdot H_k(z)$ $H_{t o t a l} (z) = H_{1} (z) \cdot H_{2} (z) \cdot \dots \cdot H_{k} (z)$
- Las pendientes de atenuación se suman: dos filtros Butterworth de 2 polos (12 dB/oct) en serie producen un filtro Linkwitz-Riley de 4 polos (24 dB/oct).
- Es la arquitectura obligatoria para ecualizadores paramétricos de bandas múltiples y filtros crossover estables.
Conexión en Paralelo: $H_{total}(z) = H_1(z) + H_2(z) + \dots + H_k(z)$ $H_{t o t a l} (z) = H_{1} (z) + H_{2} (z) + \dots + H_{k} (z)$
- Las salidas se suman algebraicamente en el dominio del tiempo.
- Peligro acústico: Si las bandas adyacentes tienen desfases relativos cercanos a $180^\circ$ , la suma producirá cancelaciones destructivas profundas (comb filtering accidental) en las frecuencias de cruce. Como advierten Cipriani y Giri en Música Electrónica y Diseño Sonoro, el filtrado paralelo solo debe emplearse para síntesis de formantes vocales o bancos de resonadores desacoplados.

3. Bajo el Capó: Análisis en C del Bucle de Filtrado (`biquad~`)

Observemos cómo el objeto nativo del SDK procesa la memoria de retardo en cada vector de audio de 64 bits:

// Modelo conceptual del algoritmo de biquad en z_dsp.h
void biquad_perform64(t_biquad *x, t_object *dsp64, double **ins, long numins,
                      double **outs, long numouts, long sampleframes,
                      long flags, void *userparam) {
    double *in = ins[0];
    double *out = outs[0];
    double b0 = x->b0, b1 = x->b1, b2 = x->b2;
    double a1 = x->a1, a2 = x->a2;
    double x1 = x->x1, x2 = x->x2;
    double y1 = x->y1, y2 = x->y2;

    for (int i = 0; i < sampleframes; i++) {
        double current_in = in[i];

        // Ecuación en diferencias directa
        double current_out = b0 * current_in + b1 * x1 + b2 * x2 - a1 * y1 - a2 * y2;

        // Prevención de Denormals (subnormal floats que liquidan el CPU)
        if (fabs(current_out) < 1.0e-20) current_out = 0.0;

        // Desplazamiento de registros de estado
        x2 = x1;
        x1 = current_in;
        y2 = y1;
        y1 = current_out;

        out[i] = current_out;
    }

    x->x1 = x1; x->x2 = x2;
    x->y1 = y1; x->y2 = y2;
}

El Asesino Oculto del CPU: Denormal Numbers

Cuando un filtro IIR decae hacia el infinito con una entrada cero, el valor de $y[n]$ se vuelve infinitamente pequeño ( $10^{-308}$ ). Los procesadores x86/ARM caen en un modo de microcódigo de hardware extremadamente lento para calcular números desnormalizados (subnormals), incrementando el uso de CPU de un $2\%$ a un $80\%$ de golpe. Max implementa internamente FIX_DENORM_NAN para mandar a cero magnitudes menores al umbral térmico.

4. Escenarios Reales de Producción

Subtractive Synth Lead: Una onda de sierra rica en armónicos (saw~) pasada por un lores~ con frecuencia modulada por un LFO o una envolvente curve~ exponencial.
Eliminador de Hum de 50/60 Hz (Notch Filter): Usar [filtergraph~] en modo bandstop con una $Q$ muy estrecha ( $Q = 20$ ) centrado en 50 Hz o 60 Hz para limpiar grabaciones de guitarra sin degradar el cuerpo de graves.
Crossover de Audio de 2 Vías: Utilizar un [svf~] para dividir una señal de master en frecuencias graves (subwoofer) por el outlet Lowpass y agudos (satélites) por el outlet Highpass.
Resonador Tonal de Ruido: Excitar un filtro resonante de banda estrecha con noise~ blanco para crear emulaciones físicas de viento, flautas o cuerdas frotadas.

5. Desafíos de Ingeniería

Desafío 1: El Generador de Auto-Oscilación Afinado

Configurá [lores~] con resonancia en 0.9995. Desconectá cualquier entrada de audio y utilizá la frecuencia de corte como tono melódico afinado en semitonos MIDI ( $f = 440 \cdot 2^{(m-69)/12}$ ). Demostrá cómo se comporta como un oscilador senoidal sinusoidal autónomo.

Desafío 2: Matriz de Formantes Vocales

Diseñá un banco de 3 filtros de banda en paralelo ([biquad~]) con frecuencias y ganancias sintonizadas para las formantes $F_1, F_2, F_3$ de la vocal humana “/a/” (aprox. 800 Hz, 1200 Hz, 2500 Hz). Excitá el banco con un tren de pulsos ricos de saw~.

Desafío 3: El Detector de NaN y Auto-Reset

Creá un circuito lógico en Max con [isnan~] o comparadores de umbral que detecte si un filtro explota a valores no numéricos y envíe automáticamente el mensaje clear a [biquad~] para vaciar sus registros de memoria de retardo.

6. Laboratorio Práctico: `laboratorio_12_filtros.maxpat`

El laboratorio interactivo incluye:

Banco conmutador en tiempo real entre biquad~ (con interfaz gráfica completa filtergraph~), lores~ analógico resonante y svf~ de 4 salidas simultáneas.
Excitadores duales: Onda de Sierra analógica rica en armónicos y generador de Ruido Blanco.
Espectrograma FFT en cascada para visualizar las pendientes de atenuación en dB/octava y los picos de resonancia $Q$ .